V. FUNGSI TRIGONOMETRI DAN FUNGSI INVERS TRIGONOMETRI

84 downloads 86 Views 66KB Size Report
14. menggambar grafik fungsi arc tangen. B. Deskripsi Singkat Isi Bab. Bab ini berisi tentang: 1. definisi sinus, cosinus, dan tangen dalam segitiga siku-siku;.

V. FUNGSI TRIGONOMETRI DAN FUNGSI INVERS TRIGONOMETRI 5.1 Pendahuluan A. Tujuan Setelah mempelajari bagian ini diharapkan mahasiswa dapat: 1. menyebutkan definisi sinus, cosinus dan tangen dalam segitiga siku-siku; 2. menghitung nilai sinus, cosinus dan tangen suatu sudut; 3. menggambar grafik fungsi sinus; 4. menentukan perioda fungsi sinus; 5. menentukan maksimum dan minimum fungsi sinus; 6. menggambar grafik fungsi cosinus; 7. menentukan perioda fungsi cosinus; 8. menentukan maksimum dan minimum fungsi cosinus; 9. menggambar grafik fungsi tangen; 10. menentukan perioda fungsi tangen; 11. menentukan maksimum dan minimum fungsi tangen 12. menggambar grafik fungsi arc sinus; 13. menggambar grafik fungsi arc cosinus; 14. menggambar grafik fungsi arc tangen.

B. Deskripsi Singkat Isi Bab Bab ini berisi tentang: 1. definisi sinus, cosinus, dan tangen dalam segitiga siku-siku; 2. fungsi sinus; 3. fungsi cosinus; 4. fungsi tangen.

5. fungsi arc sinus; 6. fungsi arc cosinus; 7. fungsi arc tangen.

Kata kunci: fungsi, trigonometri, invers trigonometri

5.2 Fungsi Trigonometri A. Definisi sinus, cosinus, dan tangen (sine, cosine, and tangent)

C

A

B

Segitiga ABC siku-siku di B

Sinus A =

BC AC

Cosinus A =

AB AC

Tangen A =

BC AB

Contoh 1. Hitunglah nilai sinus, kosinus dan tangen dari sudut A dan C dalam segitiga di bawah ini. C Panjang sisi AB = 1 m Panjang sisi BC =

3 m

Panjang sisi AC = 2 m

A

B

Penyelesaian: Sinus A =

BC = AC

3  2

1 2

3

Cosinus A =

AB 1 = AC 2

Tangen A =

3 BC =  3 AB 1

2. Diketahui rangka batang (kuda-kuda) seperti gambar di bawah ini. Jika diketahui sudut A = 30o, tentukanlah panjang kaki kuda-kuda (sisi AD) dan tinggi tiang kuda-kuda (sisi BD). D

A

B

C

3m

Penyelesaian: Dari daftar trigonometri atau dari kalkulator dapat diperoleh, sinus 30o = 0,5

cosinus 30o = 0,8660

tangen 30o = 0,5774

Salah satu dari nilai-nilai tersebut dapat digunakan untuk menyelesaikan soal ini. Tangen A = tangen 30o = 0,5774 =

BD AB

BD AB

BD = 0,5774.AB = 0,5774(1 12 ) = 0,8661 Jadi tinggi kaki kuda-kuda (sisi BD) = 0,8661 m

Cosinus A = cosinus 30o = 0,8660 =

AB AD

AB AD

AB 1 21 AD =   1,7321 0,8660 0,8660 Jadi panjang kaki kuda-kuda (sisi AD) = 1,7321 m.

Catatan: sisi AD juga dapat dihitung dengan menggunakan sinus atau tangen.

B. Fungsi-Fungsi Trigonometri dan Grafiknya 1. Fungsi Sinus Bentuk Umum

Bentuk umum fungsi sinus adalah f(x) = sin x, dengan x adalah satuan ukuran sudut.

Grafik fungsi sinus dapat diperoleh dengan membuat tabel nilai sinus dari sudut-sudut yang berada dalam daerah definisi. Dibawah ini fungsi sinus digambarkan grafiknya untuk daerah definisi [0o, 360o] xo

0

30

60

90

120

150

180

210

240

270

sinx

0

0,5

0,8660

1

0,8660

0,5

0

-0,5

-0,8660

-1

300

330

360

-0,8660

-0,5

0

Jika daerah definisi diperluas untuk x  R maka dapat diamati bahwa f(x) = sin x adalah fungsi periodik dengan periode 360o atau 2 radian seperti gambar dibawah ini.

2. Fungsi Cosinus Bentuk Umum

Bentuk umum fungsi sinus adalah f(x) = cos x, dengan x adalah satuan ukuran sudut.

Grafik fungsi cosinus dapat diperoleh dengan membuat tabel nilai cosinus dari sudut-sudut yang berada dalam daerah definisi. Dibawah ini fungsi cosinus digambarkan grafiknya untuk daerah definisi [0o, 360o]

xo

0

30

60

90

120

150

180

210

240

1

0,8660

0,5

0

-0,5

-0,8660

-1

-0,8660

-0,5

300

330

360

0,5

0,8660

1

270 cosx

Jika daerah definisi diperluas untuk x  R maka dapat diamati bahwa f(x) = cos x adalah fungsi periodik dengan periode 360o atau 2 radian seperti gambar dibawah ini.

3. Fungsi Tangen Bentuk Umum Bentuk umum fungsi sinus adalah f(x) = tan x, dengan x adalah satuan ukuran sudut.

0

Grafik fungsi tangen dapat diperoleh dengan membuat tabel nilai tangen dari sudutsudut yang berada dalam daerah definisi. Dibawah ini fungsi tangen digambarkan grafiknya untuk daerah definisi [0o, 360o] xo

0

30

60

90

tanx

0

0,5774

1,7321



120

150

-1,7321 -0,5774

270

300

330

360



-1,7321

-0,5774

0

180

210

240

0

0,5774

1.7321

Jika daerah definisi diperluas untuk x  R maka dapat diamati bahwa f(x) = tan x adalah fungsi periodik dengan periode 180o atau  radian seperti gambar dibawah ini.

2.4 Fungsi Invers Trigonometri Definisi

Jika x = sin y, maka fungsi invers dari sinus didefinisikan dengan y = arc sin x. Dengan cara yang sama, jika: x = cos y maka inversnya adalah y = arc sin x; x = tan y maka inversnya adalah y = arc tan x.

Contoh: 1. Jika sin y = 0,5, hitunglah y, jika y < 90o!

Penyelesaian: sin y = 0,5 y = arc sin 0,5 y = 30o Catatan : ingat bahwa sin 30o = 0,5

2. Jika cos y = 0,7071, hitunglah y jika y < 90o!

Penyelesaian: cos y = 0,7071 y = arc cos 0,7071 y = 45o Catatan : ingat bahwa cos 45o = 0,7071 3. Jika tan y = 1,7321, hitunglah y, jika y < 90o!

Penyelesaian: tan y = 1,7321 y = arc tan 1,7321 y = 60o Catatan : ingat bahwa tan 60o = 1,7321

Daerah definisi dan grafik fungsi invers trigonometri adalah sebagai berikut: 1. Grafik fungsi y = arc sin x

Fungsi:

y = arc sin x

Daerah definisi:  1  x  1 Bagian utama :  90  y  90o

2. Grafik fungsi y = arc cos x

Fungsi

: y = arc cos x

Daerah definisi:  1  x  1 Bagian utama : 0o  y  180o

3. Grafik fungsi y = arc tan x

Fungsi

: y = arc tan x

Daerah definisi: x  R Bagian utama :  90o  y  90o

Rangkuman

1. Definisi sinus, cosinus, dan tangen (sine, cosine, and tangent)

C

A

B

Segitiga ABC siku-siku di B Sinus A =

BC AC

Cosinus A =

AB AC

Tangen A =

BC AB

2. Bentuk umum fungsi sinus adalah f(x) = sin x, dengan x adalah satuan ukuran sudut.

3. Bentuk umum fungsi cosinus adalah f(x) = cos x, dengan x adalah satuan ukuran sudut. 4. Bentuk umum fungsi tangen adalah f(x) = tan x, dengan x adalah satuan ukuran sudut. 5. Jika x = sin y, maka fungsi invers dari sinus didefinisikan dengan y = arc sin x. Dengan cara yang sama, jika x = cos y maka inversnya adalah y = arc sin x; x = tan y maka inversnya adalah y = arc tan x.

Latihan

1. Perhatikan gambar struktur kuda-kuda di bawah ini.

1,2m

A

B

C

4m

Dengan menggunakan definisi-definisi dalam trigonometri, hitunglah panjang tiap-tiap elemen kuda-kuda tersebut.

2. Gambarkan grafik fungsi-fungsi di bawah ini. Tentukan perioda dan titik-titik ekstrimnya. a) y = sin 2x

k) y = sin x + cos x

b) y = 3 sin x

l) y = arc sin 2x

c) y = 3 sin 2x

m) y = 2 arc sin x

d) y = cos 3x

n) y = 2 arc sin 2x

e) y = 4 cos x

o) y = arc cos 3x

f) y = 4 cos 3x

p) y = 3 arc cos x

g) y = tan 2x

q) y = 3 arc cos 3x

h) y = 2 tan x

r) y = arc tan 2x

i) y = 2 tan 2x

s) y = 2 arc tan x

t) y = 2 arc tan 2x